Question

本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元．甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘．假定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？

Answer 1

分析：利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應用．本題主要考查找出約束條件與目標函數，準確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設的最優(yōu)解．

解答：解：設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，
總收益為z元，由題意得

x+y≤300 500x+200y≤90000 x≥0，y≥0.

目標函數為z=3000x+2000y．
二元一次不等式組等價于

x+y≤300 5x+2y≤900 x≥0，y≥0.

作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域．
如圖，作直線l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0．
平移直線l，從圖中可知，當直線l過M點時，目標函數取得最大值．
聯立

x+y=300 5x+2y=900.

解得x=100，y=200．
∴點M的坐標為（100，200）．
∴z_max=3000x+2000y=700000（元）
答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元．

點評：用圖解法解決線性規(guī)劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數的最優(yōu)解．