Question

【題目】已知函數(shù).

（1）試討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）若對(duì)任意的，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，得到，再分類討論即可得到單調(diào)性與極值，從而判斷出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）設(shè)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.

（1）解法一：由題得

∴

當(dāng)時(shí)， 是減函數(shù)

且

，

∴此時(shí)有且只有一個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)沒有零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)

	+	0	-
	↗	極大值	↘

∴

（ⅰ）若 則此時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)

（ⅱ）若則

此時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)

（ⅲ）若 則

且，下面證明存在使

①取

下面證明，

證明：設(shè) 則，

∴在上恒負(fù)

∴在上是減函數(shù)

∴在上，恒有

∴在上是減函數(shù)

∴ ，得證

或②取

下面證明，

證明：設(shè) 則

∴在上是減函數(shù)

∴ ，得證

∴此時(shí)，函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)

綜上，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

解法二 由題得

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)沒有零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)

導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

設(shè) 則

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

∴

又∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（即，）

∴圖象如圖

∴當(dāng)即時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)即/span>時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)即

時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)即時(shí)，沒有交點(diǎn).

綜上，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

（2）設(shè)

∴

∴

題設(shè)成立的一個(gè)必要條件是即

當(dāng)時(shí)

，

∴在上單調(diào)遞減

又∵在處連續(xù)（連續(xù)性在解題過程中可不作要求，下面第三行同）

∴，

從而在上單調(diào)遞減

∴，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為