Question

設(shè)是由滿足下列兩個條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：①方程 有實(shí)根; ②函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足（1）判斷函數(shù)是不是集合中的元素,并說明理由;（2）若集合的元素具有以下性質(zhì)：“設(shè)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823115725865210.gif" style="vertical-align:middle;" />,對于任意都存在使得等式成立.”試用這一性質(zhì)證明：方程只有一個實(shí)數(shù)根；（3設(shè)是方程的實(shí)根,求證:對函數(shù)定義域中任意,,當(dāng),且時, .

Answer 1

（1） （2）略；（3）略

：（1）函數(shù)是集合中的元素.事實(shí)上，方程就是此方程有實(shí)根0.又而,所以
,滿足 ……3分
（2）用反證法.假設(shè)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,則
由函數(shù)性質(zhì), 存在使得等式
成立,即而
所以,此與矛盾.故方程只有一個實(shí)數(shù)根.………8分
（3）不妨設(shè).因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823115726926392.gif" style="vertical-align:middle;" />所以在其定義域上是增函數(shù),于是
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823115727004381.gif" style="vertical-align:middle;" />所以是定義域上的減函數(shù).于是
即
故<1+1=2