Question

已知橢圓C：

x2

m2

+y2=1 （常數(shù)m＞1），P是曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)，M是曲線(xiàn)C上的右頂點(diǎn)，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）
（1）若M與A重合，求曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若m=3，求|PA|的最大值與最小值；
（3）若|PA|的最小值為|MA|，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，若M與A重合，即橢圓的右頂點(diǎn)的坐標(biāo)，可得參數(shù)a的值，已知b=1，進(jìn)而可得答案；
（2）根據(jù)題意，可得橢圓的方程，變形可得y²=1-

x2

9

；而|PA|²=（x-2）²+y²，將y²=1-

x2

9

代入可得，|PA|²=

8x2

9

-4x+5，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，又由x的范圍，分析可得，|PA|²的最大與最小值；進(jìn)而可得答案；
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），類(lèi)似與（2）的方法，化簡(jiǎn)可得|PA|²=

m2-1

m2

（x-

2m2

m2-1

）²+

4m2

m2-1

+5，且-m≤x≤m；根據(jù)題意，|PA|的最小值為|MA|，即當(dāng)x=m時(shí)，|PA|_^取得最小值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分析可得，

2m2

m2-1

≥m，且m＞1；解可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，若M與A重合，即橢圓的右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）；
則a=2；橢圓的焦點(diǎn)在x軸上；
則c=

3

；
則橢圓焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

，0），（-

3

，0）；
（2）若m=3，則橢圓的方程為

x2

9

+y²=1；
變形可得y²=1-

x2

9

，
|PA|²=（x-2）²+y²=x²-4x+4+y²=

8x2

9

-4x+5；
又由-3≤x≤3，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分析可得，
x=-3時(shí)，|PA|²=

8x2

9

-4x+5取得最大值，且最大值為25；
x=

9

4

時(shí)，|PA|²=

8x2

9

-4x+5取得最小值，且最小值為

1

2

；
則|PA|的最大值為5，|PA|^_的最小值為

2

2

；
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），
則|PA|²=（x-2）²+y²=x²-4x+4+y²=

m2-1

m2

（x-

2m2

m2-1

）²+

4m2

m2-1

+5，且-m≤x≤m；
當(dāng)x=m時(shí)，|PA|_^取得最小值，且

m2-1

m2

＞0，
則

2m2

m2-1

≥m，且m＞1；
解得1＜m≤1+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的基本性質(zhì)，解題時(shí)要結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，注意換元法的運(yùn)用即可．