Question

已知函數(shù)f（x）=|2^x-1-1|，（x∈R）．
（1）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，并指出函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1）上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=t有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)單調(diào)性的證明，通常依據(jù)定義，步驟為：取值，作差，變形，定號(hào)，下結(jié)論，由于與指數(shù)函數(shù)有關(guān)，求解時(shí)要利用到指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由（1）可知，函數(shù)的值域?yàn)椋?，1），要使函數(shù)f（x）的圖象與直線y=t有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故有t∈（0，1）又函數(shù)f（x）的圖象與直線y=t有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以A（m，t），B（n，t）分別位于直線x=1的兩側(cè)，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，進(jìn)而由t∈（0，1），可求m+n的取值范圍．
解答：解：（1）證明：任取x₁∈（1，+∞），x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，=，∵x₁＜x₂，∴，
∴，∴f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)．（5分）
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1）上為減函數(shù)．（6分）
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，相應(yīng)的函數(shù)值為（0，+∞），在區(qū)間（-∞，1）上為減函數(shù)，相應(yīng)的函數(shù)值為（0，1），由題意函數(shù)f（x）的圖象與直線y=t有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故有t∈（0，1），（8分）
易知A（m，t），B（n，t）分別位于直線x=1的兩側(cè)，由m＜n，得m＜1＜n，故2^m-1-1＜0，2^n-1-1＞0，又A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程t=|2^x-1-1|，故得t=1-2^m-1，t=2^n-1-1，即m=log₂（2-2t），n=log₂（2+2t），（12分）
故m+n=log₂（2-2t）+log₂（2+2t）=log₂（4-4t²），
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，0＜4-4t²＜4，-∞＜log₂（4-4t²）＜2．
因此，m+n的取值范圍為（-∞，2）．（17分）
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)綜合問題，主要考查函數(shù)單調(diào)性的證明，考查函數(shù)圖形的性質(zhì)，有較強(qiáng)的綜合性．依據(jù)定義，證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟通常為：取值，作差，變形，定號(hào)，下結(jié)論