Question

某商品在100天內(nèi)的銷售單價f（t）與時間t（t∈N）的函數(shù)關系是f(t)=

1 4 t+22(0≤t＜40) - 1 2 t+52(40≤t≤100)

銷售量g（t）與時間t（t∈N）的函數(shù)關系是g(t)=-

1

3

t+

109

3

(0≤t≤100)，求這種商品日銷售額S（t）的最大值．

Answer 1

分析：由已知中銷售單價f（t）與時間t（t∈N）的函數(shù)f（t），及銷售量g（t）與時間t（t∈N）的函數(shù)g（t），結合銷售額為S（t）=f（t）g（t），我們可以求出銷售額為S（t）的函數(shù)解析式，再利用“分段函數(shù)分段處理”的原則，分別求出每一段上函數(shù)的最大值，即可得到商品日銷售額S（t）的最大值．

解答：解：由已知銷售價f(t)=

1 4 t+22(0≤t＜40) - 1 2 t+52(40≤t≤100)

，銷售量g(t)=-

1

3

t+

109

3

(0≤t≤100)
∴日銷售額為S（t）=f（t）g（t），即當0≤t＜40時，S(t)=(

1

4

t+22)(-

1

3

t+

109

3

)=-

1

12

t2+

7

4

t+

2398

3

此函數(shù)的對稱軸為x=

21

2

，又t∈N，最大值為S(10)=S(11)=

1617

2

；當40≤t≤100時，S(t)=(-

1

2

t+52)(-

1

3

t+

109

3

)=

1

6

t2-

213

6

t+

265

3

，此時函數(shù)的對稱軸為x=

213

2

＞100，最大值為S（100）=6．
綜上，這種商品日銷售額S（t）的最大值為

1617

2

，此時t=10或t=11．

點評：本題考查的知識點是分段函數(shù)的解析式求法，函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質，其中根據(jù)日銷售額為S（t）=f（t）g（t），得到銷售額為S（t）的函數(shù)解析式，是解答本題的關鍵．