Question

已知數(shù)列為等差數(shù)列，且a₁=5，a₃=29．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）對任意n∈N^*，恒成立的實數(shù)m是否存在最小值？如果存在，求出m的最小值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)等差數(shù)列{log₃（a_n-2）}的公差為d．
由a₁=5，a₃=29得log₃27=log₃3+2d，即d=1．
所以log₂（a_n-2）=1+（n-1）×1=n，即a_n=2ⁿ+2．
（2）證明：因為==，
所以++…+=+++…+==1-，
要恒成立，
即1-＜m，由于1-＜1，
∴m≥1．
故存在m的最小值1，使得對任意n∈N^*，恒成立．
分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{log₃（a_n-2）}的公差為d．根據(jù)a₁和a₃的值求得d，進而根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得數(shù)列{log₃（a_n-2）}的通項公式，進而求得a_n．
（2）把（1）中求得的a_n代入++…+中，進而根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求得++…+=1-，即可得出答案．
點評：本題考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)與存在性問題，注意與對數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的結(jié)合運用時，往往同時涉及等比、等差數(shù)列的性質(zhì)，是一個難點．