Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞))，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，右頂點為A，上頂點為B，P為橢圓上在第一象限內一點．
（1）若S△PF1F2=S△PAF2，求橢圓的離心率；
（2）若S△PF1F2=S△PAF2=S△PBF1，求直線PF₁的斜率k；
（3）若S△PAF2，S△PF1F2，S△PBF1成等差數(shù)列，橢圓的離心率e∈[

1

4

，1)，求直線PF₁的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若S△PF1F2=S△PAF2，則F₂為F₁A的中點，從而得a、c間的等式，求得離心率；
（2）設直線PF₁的方程為y=k（x+c），若S△PF1F2=S△PAF2=S△PBF1，則點B、F₂到直線PF₁的距離相等，利用點到直線的距離公式即可得k、b、c間的關系，再由（1）即可求得斜率k的值
（3）利用點到直線的距離公式，若S△PAF2，S△PF1F2，S△PBF1成等差數(shù)列，則k=

b

6c-a

，兩邊平方后，利用已知離心率范圍，即可求得k的范圍

解答：解：（1）∵S△PF1F2=S△PAF2∴F₁F₂=F₂A
∴a-c=2c
∴e=

1

3

（2）設直線PF₁的方程為y=k（x+c），
∵S△PF1F2=S△PBF1
∴

1

2

PF₁•

b-kc

k2+ 1

=

1

2

PF₁•

2kc

k2+ 1

∴b-kc=2kc
∴b=3kc
∵a=3c，a²-b²=c²
∴b=2

2

c
∴k=

2 2

3

（3）設S△PF1F2=t，則S△PAF2=

a-c

2c

t
∵P在第一象限∴k＞

b

c

S△PBF1

S△PF1F2

=

b-kc

2kc

∴S△PBF1=

b-kc

2kc

t
∴2t=

a-c

2c

t+

b-kc

2kc

t
∴4kc=ak-ck+b-kc
∴k（6c-a）=b
∴k=

b

6c-a

∴

b

6c-a

＜

b

c

∴

1

5

＜e＜1
又由已知e∈[

1

4

，1)，
∴e∈[

1

4

，1)，
∴k²=

b2

36c2-12ac+a2

=

a2-c2

36c2-12ac+a2

=

1-e2

36e2-12e+1

=

1-e2

(6e-1)2

  （令m=6e-1，∴e=

m+1

6

）
=

1-( m+1 6 )2

m2

=

1

36

×

36-m2- 2m-1

m2

=

1

36

×（

35

m2

-

2

m

-1）
∵e∈[

1

4

，1)，
∴

1

2

≤m＜5
∴

1

5

＜

1

m

≤2∴0＜k²≤

15

4

∴0＜k≤

15

2

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質，橢圓的離心率的定義及其求法，直線與橢圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，有一定的運算量