Question

2．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0．b＞0）的左、右焦點(diǎn)，其離心率為e，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），直線F₁B與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與x軸，直線F₁B的交點(diǎn)分別為M，R，若△RMF₁與△PQF₂的面積比為e，則e的值為？

Answer 1

分析 分別求出P，Q，M的坐標(biāo)，利用△RMF₁與△PQF₂的面積之比為e，|MF₂|=|F₁F₂|=2c，可得3c=x_M=$\frac{{c}^{3}}{{c}^{2}-{a}^{2}}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，|OB|=b，|OF₁|=c．∴k_PQ=$\frac{c}$，k_MN=-$\frac{c}$．
直線PQ為：y=$\frac{c}$（x+c），與y=$\frac{a}$x．聯(lián)立得：Q（$\frac{ac}{c-a}$，$\frac{bc}{c-a}$）；
與y=-$\frac{a}$x．聯(lián)立得：P（$\frac{-ac}{c+a}$，$\frac{bc}{c+a}$）．
直線MN為：y-$\frac{bc}{c+a}$=-$\frac{c}$（x-$\frac{-ac}{c+a}$），
令y=0得：x_M=$\frac{{c}^{3}}{{c}^{2}-{a}^{2}}$
又△RMF₁與△PQF₂的面積之比為e，∴|MF₂|=|F₁F₂|=2c，∴3c=x_M=$\frac{{c}^{3}}{{c}^{2}-{a}^{2}}$，
解之得：e²=$\frac{3}{2}$，
∴e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．