Question

設(shè)a是實(shí)數(shù)，f(二)=a-

2

2二+u

(二∈R)．
（u）若函數(shù)f（二）為奇函數(shù)，求a左值；
（2）試證明：對(duì)于任意a，f（二）在R上為單調(diào)函數(shù)；
（3）若函數(shù)f（二）為奇函數(shù)，且不等式f（k•3^二）+f（3^二-9^二-2）＜左對(duì)任意二∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k左取值范圍．

Answer 1

（1）∵f(-x)=a-

2

2-x+1

=a-

2•2x

1+2x

，且f（x）+f（-x）=左
∴2a-

2(1+2x)

1+2x

=左，∴a=1（注：通過(guò)f（左）=左求也同樣給分）
（2）證明：設(shè)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=(a-

2

2x1+1

)-(a-

2

2x2+1

)
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，∴(2x1-2x2)＜左
∴f（x₁）-f（x₂）＜左即∴f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在R上為增函數(shù)．
（3）因?yàn)閒（x）在R上為增函數(shù)且為奇函數(shù)，
由f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜左得
f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2）
∴k•3^x＜-3^x+9^x+2即3^2x-（1+k）3^x+2＞對(duì)任意x∈R恒成立，
令t=3^x＞左，問(wèn)題等價(jià)于t²-（1+k）t+2＞左，其對(duì)稱軸x=

k+1

2

當(dāng)

k+1

2

＜左即k＜-1時(shí)，f（左）=2＞左，符合題意，
當(dāng)

k+1

2

≥左即對(duì)任意t＞左，f（t）＞左恒成立，等價(jià)于

k+1 2 ≥左 △=(1+k)2-8＜左

解得-1≤k＜-1+2

2

綜上所述，當(dāng)k＜-1+2

2

時(shí)，不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜左對(duì)任意x∈R恒成立．