Question

（2013•遼寧二模）下列函數(shù)中，在其定義域內既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（　�。�

• A．y=sin(x-

  π

  6

  )
• B．y=2^x
• C．y=x
• D．y=-x³

Answer 1

分析：根據(jù)奇函數(shù)在x=0處函數(shù)值為0，得A項不是奇函數(shù)，不符合題意；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性，得y=2^x是R上的增函數(shù)，不符合題意；根據(jù)函數(shù)y=x是R上的增函數(shù)，得C項不符合題意；由此可得只有D項符合題意，再利用單調性和奇偶性的定義加以證明即可．

解答：解：對于A，因為函數(shù)y=sin(x-

π

6

)當x=0時，y=sin（-

π

6

）≠0
所以y=sin(x-

π

6

)不是奇函數(shù)，故A項不符合題意；
對于B，因為2＞1，所以指數(shù)函數(shù)y=2^x是R上的增函數(shù)，
不滿足在其定義域內是減函數(shù)，故B項不符合題意；
對于C，顯然函數(shù)y=x是R上的增函數(shù)，故C項也不符合題意；
對于D，設f（x）=-x³，可得
f（-x）=-（-x）³=x³=-f（x），因此函數(shù)y=-x³是奇函數(shù)，
又因為f′（x）=-2x²≤0恒成立，可得y=-x³是其定義域內的減函數(shù)
∴函數(shù)y=-x³是其定義域內的奇函數(shù)且是減函數(shù)，故D項符合題意
故選：D

點評：本題給出定義在R上的幾個函數(shù)，要我們找出其中的奇函數(shù)且是減函數(shù)的函數(shù)，著重考查了基本初等函數(shù)的單調性與奇偶性及其判斷方法的知識，屬于基礎題．