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已知函數f(x)=
a2-x2
x-2a
（a＞0）
（1）證明：f（x）既不是奇函數又不是偶函數．
（2）求f（x）的值域．
（3）若對于f（x）定義域內的任意實數x1，都能構造出一個無窮數列{xn}，
使其滿足條件xn+1=f（xn）（n∈N*），求a的取值范圍．
分析：（1）由f(
a
2
)=-
3
3
，f(-
a
2
)=-
3
5
，知f(
a
2
)≠f(-
a
2
)，且f(
a
2
)≠-f(-
a
2
)，由此能夠證明f（x）既不是奇函數又不是偶函數．
（2）令t=x-2a，t∈[-3a，-a]，f(t)=
-t2-4at-3a2
t
=-
-1-
4a
t
-
3a2
t2
，再由函數的單調性能夠求出函數的值域．
（3）由題意可知，函數f（x）的值域B應為定義域A的子集，即B⊆A．由此能求出a的取值范圍．
解答：（1）證明：函數的定義域為[-a，a]
∵f(
a
2
)=-
3
3
，
f(-
a
2
)=-
3
5
------（2分）
f(
a
2
)≠f(-
a
2
)，
且f(
a
2
)≠-f(-
a
2
)
∴f（x）既不是奇函數又不是偶函數；----（4分）
（2）解：令t=x-2a，t∈[-3a，-a]，
f(t)=
-t2-4at-3a2
t
=-
-1-
4a
t
-
3a2
t2
------（6分）
令
a
t
=k，-1≤k≤-
1
3
，
則f（k）在[-1，-
2
3
]遞增，在[-
2
3
，-
1
3
]遞減--（8分）
所以函數的值域為[-
3
3
，0]-----（10分）
（3）解：由題意可知，
函數f（x）的值域B應為定義域A的子集，
即B⊆A------（12分）
∴a的取值范圍為[
3
3
，+∞)------（14分）
點評：本題考查數與函數的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數f（x）總是為增函數；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數；
（3）當f（x）為奇函數時，求f（x）的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標系中畫出函數f（x）的大致圖象；
（2）求函數f（t）-9的零點；
（3）設q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數q（t）的單調遞增區(qū)間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數a的值；
（III）設g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數的底數）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調性的情況，并證明你的結論．

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