Question

3．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個底邊長為8、高為3的等腰三角形，側(cè)視圖（或稱左視圖）是一個底邊長為6、高為3的等腰三角形．
（1）求該幾何體的體積V；
（2）求該幾何體的側(cè)面積S．

Answer 1

分析 由題設(shè)可知，幾何體是一個高為4的四棱錐，其底面是長、寬分別為8和6的矩形，正側(cè)面及其相對側(cè)面均為底邊長為8，高為h₁的等腰三角形，左、右側(cè)面均為底邊長為6、高為h₂的等腰三角形，分析出圖形之后，再利用公式求解即可．

解答 解：由題設(shè)可知，幾何體是一個高為4的四棱錐，其底面是長、寬分別為8和6的矩形，
正側(cè)面及其相對側(cè)面均為底邊長為8，高為h₁的等腰三角形，左、右側(cè)面均為底邊長為6、高為h₂的等腰三角形，
如圖所示．
（1）幾何體的體積為
V=$\frac{1}{3}$•S_矩形•h=$\frac{1}{3}$×6×8×3=48；
（2）正側(cè)面及相對側(cè)面底邊上的高為：h₁=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=$3\sqrt{2}$．
左、右側(cè)面的底邊上的高為：
h₂=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
故幾何體的側(cè)面面積為：
S=2×（$\frac{1}{2}$×8×$3\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$×6×5）=30+24$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的知識點是棱柱、棱錐、棱臺的體積，其中根據(jù)已知的三視圖分析出幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵，是中檔題．