Question

如圖：在四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁垂直底面，且DD₁=2，底面四邊形ABCD與A₁B₁C₁D₁分別為邊長2和1的正方形．
（1）求直線DB₁與BC₁夾角的余弦值；
（2）求二面角A-BB₁-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D為坐標原點，以DA，DB，DC為x軸y軸z軸建立空間直角坐標系，見圖①，利用的夾角余弦值求直線DB₁與BC₁夾角的余弦值．

（2）如圖②

直線DB是直線B₁B在平面ABCD上的射影則AC⊥DB，根據三垂線定理，有AC⊥B₁B．過點A在平面ABB₁A₁內作AM⊥B₁B于M，連接MC，MO，由△AMB≌△CMB，得CM⊥BB₁
∠AMC是二面角A-B₁B-C的一個平面角，在三角形AMC中求出此角即可
解答：解：（1）以D為坐標原點，以DA，DB，DC為x軸y軸z軸建立空間直角坐標系．如圖①

則各點坐標D（0，0，0）B（2，2.0）B1（1，1，2）C1（0，1，2）
=（1，1，2），=（-2．-1，2）
設的夾角為θ，則cosθ===
直線DB₁與BC₁夾角的余弦值為．
（2）如圖②

∵直線DB是直線B₁B在平面ABCD上的射影，AC⊥DB，
根據三垂線定理，有AC⊥B₁B．
過點A在平面ABB₁A₁內作AM⊥B₁B于M，連接MC，MO，
由△AMB≌△CMB，得CM⊥BB₁
所以，∠AMC是二面角A-B₁B-C的一個平面角．
根據勾股定理，有 ．
∵OM⊥B₁B，有 ，
，，．
．
點評：本小題主要考查直線與直線的夾角、二面角及其平面角等有關知識，考查空間想象能力和思維能力，屬于中檔題