Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）討論f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性并用定義證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可得 ≠0，解得 x≠0，故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
由，可得，
若f（x）=f（-x），則，無(wú)解，故f（x）不是偶函數(shù)．
若f（-x）=-f（x），則a=0，顯然a=0時(shí)，f（x）為奇函數(shù)．
綜上，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）為奇函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）不具備奇偶性
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增；
證明：設(shè) x₁＜x₂＜0，則，
由x₁＜x₂＜0，可得 x₁x₂＞0，x₂ -x₁＞0，
從而，故f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增．
分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若f（x）=f（-x），則，無(wú)解，故f（x）不是偶函數(shù)；若f（-x）=-f（x），則a=0，顯然a=0時(shí)，f（x）為奇函數(shù)，由此得出結(jié)論．
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，設(shè) x₁＜x₂＜0，證明f（x₂）-f（x₁）＞0，從而得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷、證明，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．