Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=

1

2

(2n-1)，數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂a_n，則T_n=（b₁）²-（b₂）²+（b₃）²+…++（-1）^n-1（b_n）²（n∈N^*）可化簡為

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求得數(shù)列{a_n}的通項公式，進(jìn)而求得b_n，同理利用平方差公式對T_n進(jìn)行化簡整理求得當(dāng)n為偶數(shù)時，利用等差數(shù)列的求和公式求得，看n為奇數(shù)時根據(jù)T_n=T_n-1+b₂ⁿ求得T_n，最后綜合可得答案．

解答：解：當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2^n-2，n=1時a₁=

1

2

，也符合
∴a_n=2^n-2，
∴b_n=log₂a_n=n-2，即數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，公差為1
∴當(dāng)n為偶數(shù)時，T_n=（b₁）²-（b₂）²+（b₃）²+…+（-1）^n-1（b_n）²（n∈N^*）
=（b₁）²-（b₂）²+（b₃）²+…+（b_n-1）²-（b_n）²
=-[b1+b2++bn]=

n(3-n)

2

當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn=Tn-1+

b

2 n

=

(n-1)[3-(n-1)]

2

+(n-2)2=

n2-3n+4

2

故答案為：

n(3-n)

2

（n為偶數(shù)時），

n2-3n+4

2

（n為奇數(shù)時）

點評：本題主要考查數(shù)列求和，等差關(guān)系的確定．考查了學(xué)生邏輯推理和基本的運(yùn)算能力．