Question

設(shè)函數(shù)f(x)=5sin(

k

5

x-

π

3

)(k≠0)．
（1）寫(xiě)出f（x）的最大值M，最小值m，最小正周期T；
（2）試求最小正整數(shù)k，使得當(dāng)自變量x在任意兩個(gè)整數(shù)間（包括整數(shù)本身）變化時(shí)，函數(shù)f（x）至少有一個(gè)值是M和一個(gè)值是m．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的解析式求出其最值，由公式求出最小正周期T；
（2）函數(shù)f（x）至少有一個(gè)值是M和一個(gè)值是m說(shuō)明函數(shù)此時(shí)的k值滿(mǎn)足函數(shù)的周期小于等于1，即T≤1，由此建立關(guān)于參數(shù)的方程，求出k的取值范圍，即可得到其最小值．

解答：解：（1）∵f(x)=5sin(

k

5

x-

π

3

)(k≠0)
∴M=5，m=-5，T=

2π

| k 5 |

=

10π

|k|

；
（2）由題意知，函數(shù)f（x）在任意兩個(gè)整數(shù)間（包括整數(shù)本身）變化時(shí)，至少有一個(gè)值是M和一個(gè)值是m，∴T≤1，即

10π

|k|

≤1，∴|k|≥10π＞31.4，∵k∈N^*，∴最小正整數(shù)k為32．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，解題的關(guān)鍵是掌握周期公式以及對(duì)問(wèn)題的正確轉(zhuǎn)化如在第二問(wèn)中對(duì)使得當(dāng)自變量x在任意兩個(gè)整數(shù)間（包括整數(shù)本身）變化時(shí)，函數(shù)f（x）至少有一個(gè)值是M和一個(gè)值是m理解與轉(zhuǎn)化．正確轉(zhuǎn)化問(wèn)題對(duì)解題很重要．