Question

9．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{\sqrt{a{x}^{2}+3ax+1}}$的定義域是R，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $（{0，\frac{4}{9}}）$
• B． $[{0，\frac{4}{9}}]$
• C． $[{0，\frac{4}{9}}）$
• D． $（{0，\frac{4}{9}}]$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域是R，得出ax²+3ax+1＞0恒成立，討論a的取值，求出滿足條件的a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{\sqrt{a{x}^{2}+3ax+1}}$的定義域是R，
∴ax²+3ax+1＞0恒成立；
當(dāng)a=0時，1＞0滿足題意，
當(dāng)a≠0時，應(yīng)滿足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{9a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜$\frac{4}{9}$；
綜上，實數(shù)a的取值范圍是[0，$\frac{4}{9}$）．
故選：C．

點評 本題考查了不等式恒成立的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)對字母系數(shù)進(jìn)行討論，是基礎(chǔ)題目．