Question

一個圓的圓心為橢圓的右焦點，且該圓過橢圓的中心交橢圓于P，直線PF₁（F₁為橢圓的左焦點）是該圓的切線，則橢圓的離心率為（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  2

• D、

  3

  -1

Answer 1

分析：根據(jù)題意思可得：點P是切點，所以PF₂=c并且PF₁⊥PF₂．所以∠PF₁F₂=30°，所以|PF2|=

3

c．根據(jù)橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
所以|PF₂|=2a-c．進而得到答案．

解答：解：設(shè)F₂為橢圓的右焦點
由題意可得：圓與橢圓交于P，并且直線PF₁（F₁為橢圓的左焦點）是該圓的切線，
所以點P是切點，所以PF₂=c并且PF₁⊥PF₂．
又因為F₁F₂=2c，所以∠PF₁F₂=30°，所以|PF2|=

3

c．
根據(jù)橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
所以|PF₂|=2a-c．
所以2a-c=

3

c，所以e=

3

-1．
故選D．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握直線與圓的相切問題，以即橢圓的定義．