Question

【題目】設(shè)x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)＝aln x＋bx2＋x的兩個(gè)極值點(diǎn)．

(1)試確定常數(shù)a和b的值；

(2)判斷x＝1，x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) a＝－，b＝－.(2)見(jiàn)解析.

【解析】

(1)由題，求出f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，可知f′(1)＝f′(2)＝0，解出a，b的值即可；

(2)由(1)可知導(dǎo)函數(shù)，再判別出x＝1，x＝2左右兩邊導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可判斷出是極大值還是極小值.

(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，

∴f′(x)＝＋2bx＋1.

由極值點(diǎn)的必要條件可知：

f′(1)＝f′(2)＝0，

∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0，

解方程組得，a＝ ，b＝ .

(2)由(1)可知f(x)＝ln xx2＋x，

且函數(shù)f(x)＝ln xx2＋x的定義域是(0，＋∞)，

f′(x)＝x－1x＋1＝ .

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，f′(x)＞0；

當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0；

所以，x＝1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，

x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)．