如圖所示，橢圓的長軸A1A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心為M(0，r)(b＞r＞0)．

(1)

寫出橢圓的方程，并求橢圓的焦點坐標(biāo)及離心率

(2)

直線y＝k1x交橢圓于兩點C(x1，y1)、D(x2，y2)(y2＞0)，直線y＝k2x交橢圓于兩點G(x3，y3)、H(x4，y4)(y4＞0)，求證：＝

(3)

對于(2)中的C、D、G、H，設(shè)CH交x軸于點P，GD交x軸于點Q，求證：｜OP｜＝｜OQ｜．(證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形)

答案：
解析：

(1)

解析：橢圓方程為＋＝1．焦點坐標(biāo)為F1(－，r)，F(xiàn)2(，r)，離心率e＝．

(2)

　　將直線CD的方程y＝k1x代入橢圓方程，得b2x2＋a2(k1x－r)2＝a2b2，整理得(b2＋a2)x2－2k1a2rx＋(a2r2－a2b2)＝0．

　　根據(jù)韋達定理，得x1＋x2＝，x1x2＝，

　　所以＝．　　　　　　　　　�、�

　　將直線GH的方程y＝k2x代入橢圓方程，同理可得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

　　由①、②得＝＝．

(3)

　　如圖所示，設(shè)點P(p，0)，點Q(p，0)，

　　由D、P、H共線，得＝，解得p＝．

　　由D、Q、G共線，同理可得q＝．

　　由＝變形得－＝，

　　即－＝，

　　所以｜p｜＝｜q｜，即｜OP｜＝｜OQ｜．


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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•茂名二模）如圖所示，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
5
5
，且A（0，1）是橢圓C的頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點A作斜率為1的直線l，在直線l上求一點M，使得以橢圓C的焦點為焦點，且過點M的雙曲線E的實軸最長，并求此雙曲線E的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練22練習(xí)卷（解析版） 題型：解答題

如圖所示,設(shè)橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左、右焦點分別為F1、F2,線段OF1、OF2的中點分別為B1、B2,且△AB1B2是面積為4的直角三角形.

(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過B1作直線交橢圓于P、Q兩點,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面積.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年湖南省六校高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖所示，橢圓的離心率為，且A（0，1）是橢圓C的頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點A作斜率為1的直線l，在直線l上求一點M，使得以橢圓C的焦點為焦點，且過點M的雙曲線E的實軸最長，并求此雙曲線E的方程．

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如圖所示，橢圓的離心率為，且A（0，1）是橢圓C的頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點A作斜率為1的直線l，在直線l上求一點M，使得以橢圓C的焦點為焦點，且過點M的雙曲線E的實軸最長，并求此雙曲線E的方程．

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