Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（x+2），a，b，c是兩兩不相等的正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，試判斷f（a）+f（c）與2f（b）的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：首先利用等比數(shù)列得到b²=ac，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：b=

ac

，再利用作差法進(jìn)行數(shù)和式的大小比較．注意在運(yùn)算過(guò)程中注意基本不等式的應(yīng)用．

解答： 結(jié)論是：f（a）+f（c）≥2f（b）
證明：a，b，c是兩兩不相等的正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，
則：b²=ac
進(jìn)一步整理得：b=

ac

所以：f（a）+f（c）=log₂（a+2）+log₂（c+2）=log₂（a+2）（c+2）
2f（b）=log2(b+2)2
要確定f（a）+f（c）與2f（b）的大小關(guān)系，只需確定（a+2）（c+2）與（b+2）²的大小即可
所以令：（a+2）（c+2）-（b+2）²
=ac+2a+2c+4-b²-4b-4
=2a+2c-4b
=2a+2c-4

ac

根據(jù)基本不等式：2a+2c≥4

ac

所以：（a+2）（c+2）-（b+2）²≥0
則：f（a）+f（c）≥2f（b）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)或式子的大小比較，利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性和基本不等式進(jìn)行證明，屬于基礎(chǔ)題型．