Question

【選修4-1：幾何證明選講】
已知，如圖，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)A，AC=AB，CO交⊙O于點(diǎn)P，CO的延長線交⊙O于點(diǎn)F，BP的延長線交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：FA∥BE；
（2）求證：

AP

PC

=

FA

AB

；
（3）若⊙O的直徑AB=2，求tan∠PFA的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形中等邊對等角得到∠OAF=∠F，由同弧所對的圓周角相等得到∠B=∠F，從而得出∠OAF=∠B，由此可得FA∥BE．
（2）根據(jù)弦切角定理得∠PAC=∠F，從而證出△APC∽△FAC，利用對應(yīng)邊成比例及AB=AC，證出

PA

FA

=

PC

AB

，再根據(jù)比例的性質(zhì)整理可得

AP

PC

=

FA

AB

．
（3）根據(jù)切割線定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)可得CP（CP+PF）=AC²=4，由此解出CP=

5

-1（舍負(fù)）．再由FP為⊙O的直徑得∠FAP=90°，在Rt△FAP中利用三角函數(shù)的定義，結(jié)合（2）中的結(jié)論即可算出tan∠PFA的值．

解答：解：（1）∵在⊙O中，直徑AB與FP交于點(diǎn)O，
∴OA=OF，可得∠OAF=∠F．
又∵∠B=∠F，∴∠OAF=∠B．
∴FA∥BE．
（2）∵AC為⊙O的切線，PA是弦，∴∠PAC=∠F．
∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，可得

PA

FA

=

PC

AC

∵AB=AC，
∴

PA

FA

=

PC

AB

，變形整理可得

AP

PC

=

FA

AB

．
（3）∵AC切⊙O于點(diǎn)A，CPF為⊙O的割線，
∴AC²=CP•CF=CP（CP+PF），
∵PF=AB=AC=2，
∴CP（CP+2）=4，整理得CP²+2CP-4=0，解之得CP=-1±

5

∵CP＞0，∴CP=

5

-1．
∵FP為⊙O的直徑，∴∠FAP=90°
 由（2）中的結(jié)論，得

PA

FA

=

PC

AC

，
∴在Rt△FAP中，tan∠F=

PA

FA

=

PC

AC

=

5 -1

2

．

點(diǎn)評：本題著重考查了等腰三角形的性質(zhì)、兩條直線平行的判定、切割線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、直徑所對的圓周角和直角三角形中三角函數(shù)的定義等知識，屬于中檔題．