Question

已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，求證：過(guò)點(diǎn)P的切線PT平分△PF₁F₂在點(diǎn)P處的外角．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：求出切線PT的方程，求出點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂到PT的距離，判斷△PMF₁∽△PNF₂，即可得到結(jié)論．

解答：
解：設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），P（x₀，y₀），
如圖過(guò)F₁，F(xiàn)₂作切線PT的垂線，垂足分別為M，N，
∵切線PT的方程為

x0x

a2

+

y0y

b2

=1，
∴點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂到PT的距離為|F₁M|=

| -cx0 a2 -1|

x02 a4 + y02 b4

，|F₂N|=

| cx0 a2 -1|

x02 a4 + y02 b4

，

|F1M|

|F2N|

=

|- cx0 a2 -1|

| cx0 a2 -1|

=

|-cx0-a2|

|cx0-a2|

=

|-ex0-a|

|ex0-a|

=

|a+ex0|

|a-ex0|

=

|PF1|

|PF2|

，
∴△PMF₁∽△PNF₂，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠4，
∴∠2=∠4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查綜合考查圓錐的性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線的距離公式，綜合性較強(qiáng)，難度較大．