Question

若a＞1，設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+x-4的零點(diǎn)為m，g（x）=log_ax+x-4的零點(diǎn)為n，則的取值范圍（ ）
A．
B．（1，+∞）
C．（4，+∞）
D．

Answer 1

【答案】分析：把函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，得到兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系求出m，n之間的關(guān)系個(gè)，根據(jù)兩者之和是定值，利用基本不等式得到要求的結(jié)果．
解答：解：函數(shù)f（x）=a^x+x-4的零點(diǎn)是函數(shù)y=a^x與函數(shù)y=4-x圖象交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，
函數(shù)g（x）=log_ax+x-4的零點(diǎn)是函數(shù)y=log_ax與函數(shù)y=4-x圖象交點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，
由于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，
其圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，
直線(xiàn)y=4-x與直線(xiàn)y=x垂直，
故直線(xiàn)y=4-x與直線(xiàn)y=x的交點(diǎn)（2，2）即是A，B的中點(diǎn)，
∴m+n=4，
∴，
當(dāng)m=n=1等號(hào)成立，
故所求的取值范圍是[1，+∞）．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合函數(shù)零點(diǎn)、考查反函數(shù)的性質(zhì)，考查利用基本不等式求最值．考查根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性找到兩個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系．是一道在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處命題的優(yōu)秀試題．