Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知（a₅-1）³+2011（a₅-1）=1，（a₂₀₀₇-1）³+2011（a₂₀₀₇-1）=-1，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

A．S₂₀₁₁=2011，a₂₀₀₇＜a₅

B．S₂₀₁₁=2011，a₂₀₀₇＞a₅

C．S₂₀₁₁=-2011，a₂₀₀₇≤a₅

D．S₂₀₁₁=-2011，a₂₀₀₇≥a₅

Answer 1

分析：令f（x）=x³+2011x-1，，由f′（x）=3x²+2011＞0可得f（x）在R上單調(diào)遞增且連續(xù)的函數(shù)，結(jié)合零點判定及f（0），f（1）的符號可知函數(shù)f（x）=x³+2011x-1只有唯一的零點x₀∈（0，1）從而可得a₅-1，的符號，同理可得a₂₀₀₇-1的符號，由已知兩式相加可得，（a₅+a₂₀₀₇-2）[（a₅-1）²+（a₂₀₀₇-1）²-（a₅-1）（a₂₀₀₇-1）+2011]=0，從而有a₅+a₂₀₀₇-2=0，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a₁+a₂₀₁₁=a₅+a₂₀₀₇=2，代入等差數(shù)列的求和公式S2011=

2011(a1+a2011)

2

可求

解答：解：令f（x）=x³+2011x-1，g（x）=x³+2011x+1
f′（x）=3x²+2011＞0
f（x）在R上單調(diào)遞增且連續(xù)的函數(shù)
f（0）=-1＜0，f（1）=2011＞0
函數(shù)f（x）=x³+2011x-1只有唯一的零點x₀∈（0，1）
從而可得0＜a₅-1＜1，1＜a₅＜2，-1＜a₂₀₀₇＜0∴a₂₀₀₇＜a₅
∵（a₅-1）³+2011（a₅-1）=1，（a₂₀₀₇-1）³+2011（a₂₀₀₇-1）=-1
兩式相加整理可得，（a₅+a₂₀₀₇-2）[（a₅-1）²+（a₂₀₀₇-1）²-（a₅-1）（a₂₀₀₇-1）+2011]=0
由0＜a₅-1＜1，-1＜a₂₀₀₇-1＜0可得（a₅-1）²+（a₂₀₀₇-1）²-（a₅-1）（a₂₀₀₇-1）+2011＞0
∴a₅+a₂₀₀₇-2=0
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，a₁+a₂₀₁₁=a₅+a₂₀₀₇=2
∴S2011=

2011(a1+a2011)

2

=2011
故選：A

點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及單調(diào)性、由函數(shù)的性質(zhì)判定零點的范圍，等差數(shù)列性質(zhì)（若m+n=p+q，則a_m+a_n=a_p+a_q）的應(yīng)用及求和公式Sn=

n(a1+an)

2

應(yīng)用，本題是一道綜合性非常好的試題，知識的應(yīng)用也比較靈活．考試要注意體會應(yīng)用．