Question

偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），且在x∈[0，1]時，f（x）=1-x，則函數(shù)g（x）=f（x）-（

1

10

）^x在[0，3]上的零點(diǎn)的個數(shù)是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)已知條件推導(dǎo)函數(shù)f（x）的周期，再利用函數(shù)與方程思想把問題轉(zhuǎn)化，畫出函數(shù)的圖象，即可求解．

解答：解：∵f（x-1）=f（x+1）
∴f（x）=f（x+2），
∴原函數(shù)的周期T=2．                         
又∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）．
又∵x∈[0，1]時，f（x）=x，函數(shù)的周期為2，
∴原函數(shù)的對稱軸是x=1，且f（-x）=f（x+2）．
設(shè) y₁=f（x），y₂=（

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）x，
函數(shù)g（x）=f（x）-（

1

10

）^x在[0，3]上的零點(diǎn)的個數(shù)
即為函數(shù)y1=f（x），y₂=（

1

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）x的圖象交點(diǎn)的個數(shù)．
由以上條件，可畫出y₁=f（x），y₂=（

1

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）x的圖象：
又因?yàn)楫?dāng)x=1時，y₁＞y₂，∴在（0，1）內(nèi)有一個交點(diǎn)．
∴結(jié)合圖象可知，在[0，3]上y₁=f（x），y₂=（

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）x共有4個交點(diǎn)．
函數(shù)g（x）=f（x）-（

1

10

）^x有4個零點(diǎn)
故選D．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想．轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．