Question

（（本小題滿分12分）

如圖，已知，，，,．

（Ⅰ）求證：;          

   (Ⅱ) 若，求二面角 的余弦值．

 

 

Answer 1

【答案】

證法一(Ⅰ)：如圖（1），取的中點(diǎn)M，連接AM，F(xiàn)M，

，   ∴．

，

∴，∴AM∥BE

又∵,,

∴．

∵CF=FD,DM=ME,   ∴MF∥CE,

又∵,,

∴,    又∵,

∴,  

∵,

∴．-------5分

證法二：如圖（2），取CE的中點(diǎn)N，連接FN，BN，

∵，

∴，

∵CF=FD，CN=NE,  ∴ ，，

又，   ∴，，

∴,

∴AF∥BN， 又∵,，

∴．------5分

(Ⅱ)解法一：如圖（3）過F作交AD于點(diǎn)P，作PG⊥BE，連接FG．

∵，,

∴

∴ ∴FG⊥BE（三垂線定理）．

所以，∠PGF就是二面角的平面角．

由，，知△是正三角形，

在Rt△DPF中，, ，∴PA=3，

∴,

∵，  ∴

∴在Rt△PGF中，由勾股定理，得,

∴，即二面角的余弦值為．----12分

解法二：以A為原點(diǎn)，分別以AC，AB為軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖（4）所示，則A(0,0,0)，B(0,0,2), ,,于是，有

，，，

設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為，則

   令，可得，

設(shè)平面ABED的一個(gè)法向量為，則

   ，可得，

∴

所以，所求的二面角的余弦值為．------12分

 

【解析】略