設(shè)f（x）=6cos2x-2
3
sinx-cosx，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若銳角α滿足f（a）=3-2
3
，求tanα及
1+2sinacosa
sin2a-cos2a
的值．
分析：（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間．可先把函數(shù)f（x）=6cos2x-2
3
sinx-cosx化簡為三角函數(shù)的一般形式，然后根據(jù)周期公式即可得到最小正周期，再根據(jù)-π+2kπ≤2x+
π
6
≤2kπ解得單調(diào)區(qū)間即可．
（Ⅱ）若銳角α滿足f（a）=3-2
3
，求tanα及
1+2sinacosa
sin2a-cos2a
的值．因為由f（α）=3-2
3
代入函數(shù)值即可得到α的值，然后根據(jù)三角函數(shù)之間的關(guān)系化簡求解tanα及
1+2sinacosa
sin2a-cos2a
，把α的值代入即可．
解答：解：因為：f（x）=6cos2x-2
3
sinx-cosx=3（1+cos2x）-
3
sin2x=2
3
cos（2x+
π
6
）+3
所以（Ⅰ）f（x）的最小正周期為T=π；
由-π+2kπ≤2x+
π
6
≤2kπ得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-
7π
12
，kπ -
π
12
]（k∈Z）
故答案為[kπ-
7π
12
，kπ -
π
12
]且（k∈Z）
（Ⅱ）由f（α）=3-2
3
，即：2
3
cos（2α+
π
6
）+3=3-2
3
，所以cos（2α+
π
6
）=-1．
又由0＜α＜
π
2
得
π
6
＜2α+
π
6
＜
7π
6
，∴2α+
π
6
=π所以α=
5π
12

所以tanα=tan
5π
12
=tan(
π
4
+
π
6
)=
3
3
+1
1-
3
3
=2+
3

所以
1+2sinacosa
sin2a-cos2a
=
(sinα+cosα)2
(sinα+cosα)(sinα-cosα)
=
sinα+cosα
sinα-cosα
=
tanα+1
tanα-1
=
3+
3
1+
3
=
3
．
點評：此題主要考查三角函數(shù)一般形式的化簡及周期、單調(diào)性的求解問題，題中三角函數(shù)化簡求值是重點，考查學生的靈活性有一定的計算量．屬于中檔題目．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f（x）=6cos2x-
3
sin2x，
（1）求f（x）的最大值及最小正周期；
（2）若銳角α滿足f(α)=3-2
3
，求tan
4
5
α的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•杭州一模）設(shè)f（x）=6cos2x-
3
sin2x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，銳角A滿足，f（A）=3-2
3
，B=
π
12
，求
a
c
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f（x）=6cos2x-
3
sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）△ABC中銳角A滿足f(A)=3-2
3
，B=
π
12
，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，求(
a
b
+
b
a
)-
c2
ab
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•杭州一模）設(shè)f（x）=6cos2x-
3
sin2x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，銳角A滿足f（A）=3-2
3
，B=
π
12
，求
a2+b2+c2
ab
的值．

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