Question

17．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+3）-f（x）=0，且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+1，-1≤x≤1}\\{lo{g}_{2}x，1＜x＜2}\end{array}\right.$，若函數(shù)y=f（x）-$\frac{t}{3}$x（t＞0）至少有9個零點，則t的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{3}$）
• B． （0，54-24$\sqrt{5}$]
• C． （0，$\frac{1}{2}$）
• D． （0，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）滿足f（x+3）-f（x）=0，得周期T=3，函數(shù)y=f（x）-$\frac{t}{3}$x（t＞0）的零點，就是y=f（x ）與y=$\frac{t}{3}x$的交點，作出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象確定函數(shù)零點的個數(shù)，求出t的取值范圍．

解答 解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+3）-f（x）=0，∴周期T=3
畫出函數(shù)f（x）在[-1，10]的圖象，如圖所示，當直線y=$\frac{t}{3}x$相切于點A（x₀，y₀）時剛好9個零點，
當x∈（8，10）時，f（x）=-（x-9）²+1，所以過點A的切線方程為y-y₀=-2（x₀-9）（x-x₀）
∵切線過原點，-y₀=-2（x₀-9）（-x₀），又∵y₀=-（x₀-9）²+1，解得x₀=4$\sqrt{5}$，
，$\frac{t}{3}$=f′（x）=-2（x-9）=18-8$\sqrt{5}$
，t的取值范圍為（0，54-24$\sqrt{5}$]
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)零點的個數(shù)判定，利用零點定義將函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個基本初等函數(shù)，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵，屬于難題．