Question

設于f(x)=

2x-1

2x+1

，
（1）判斷f（x）的單調性，并加以證明；
（2）求證對任意非零實數(shù)x=20∈[10，25]，都有

f(x)

x

＞0．

Answer 1

分析：本題重點考查函數(shù)的基本性質及其應用，對于（1）直接根據(jù)函數(shù)的單調性的定義進行判斷和證明即可；（2）則需要利用指數(shù)函數(shù)的值域問題進行證明．

解答：解：（1）根據(jù)題意，可以知道f （x） 在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．證明如下：
任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=(1-

2

2x1+1

)-(1-

2

2x2+1

)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
（2）根據(jù)函數(shù)f(x)=

2x-1

2x+1

，結合指數(shù)函數(shù)的值域，
當x＞0時，有2^x＞1，
∴f（x）＞0，∴

f(x)

x

＞0
?當x＜0時，有0＜2^x＜1，
∴f（x）＜0，∴

f(x)

x

＞0．問題得證．
本題也可由

f(x)

x

為偶函數(shù)，因此只需證x＞0，

f(x)

x

即可．

點評：本題重點掌握函數(shù)的單調性的概念及其證明問題的一般步驟方法，領悟函數(shù)的基本性質的運用