Question

已知非零向量

a

，

b

滿足|

a

|=3|

b

|，且關(guān)于x的函數(shù)f（x）=

1

2

x³+

1

2

|

a

|x²+

a

•

b

x為R上增函數(shù)，則

a

，

b

夾角的取值范圍是（　　）

• A、[0，

  π

  2

  ]
• B、[0，

  π

  3

  ]
• C、（

  π

  3

  ，

  π

  2

  ]
• D、（

  π

  3

  ，

  2π

  3

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個向量的夾角,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）=

1

2

x³+

1

2

|

a

|x²+

a

•

b

x為R上增函數(shù)，可得導(dǎo)數(shù)大于或者等于0恒成立，利用判別式小于等于0在R上恒成立，再利用向量的數(shù)量積，即可得到結(jié)論．

解答： 解：因?yàn)橛趚的函數(shù)f（x）=

1

2

x³+

1

2

|

a

|x²+

a

•

b

x為R上增函數(shù)，
所以導(dǎo)數(shù)f′（x）=

3

2

x²+|

a

|x+

a

•

b

≥0在R上恒成立，
∴△=|

a

|2-6

a

•

b

≤0在R上恒成立，
設(shè)

a

，

b

夾角為θ，
∵|

a

|=3|

b

|≠0，
∴9-18cosθ≤0
∴cosθ≥

1

2

，
∵θ∈[0，π]
∴θ∈[0，

π

3

]
故選B．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查向量的數(shù)量積，解題的關(guān)鍵是利用判別式小于等于0在R上恒成立．