Question

橢圓與雙曲線之間有許多類似的性質(zhì)：
P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上任一點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁、F₂，∠F₁PF₂=α，三角形PF₁F₂面積為b²

sinα

1+cosα

，類比，P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任一點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁、F₂，∠F₁PF₂=α，三角形PF₁F₂面積為

b²

sinα

1-cosα

．

Answer 1

分析：類似橢圓的性質(zhì)，將面積表達(dá)式的“+”號改成“-”即得b²

sinα

1-cosα

．設(shè)|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，根據(jù)三角形面積公式可表示出△PF₁F₂的面積，由余弦定理可求得r₁r₂的表達(dá)式，進(jìn)而求得S與b和tanθ的關(guān)系式，原式得證．

解答：解：類似橢圓的性質(zhì)：P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任一點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁、F₂，∠F₁PF₂=α，三角形PF₁F₂面積為 b²

sinα

1-cosα

．
證明：設(shè)|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，
則S=

1

2

r₁r₂sin2θ，又|F₁F₂|=2c，
由余弦定理有
（2c）²=r₁²+r₂²-2r₁r₂cos2θ=（r₁+r₂）²-2r₁r₂-2r₁r₂cos2θ=（2a）²-2r₁r₂（1+cos2θ），
于是2r₁r₂（1+cos2θ）=4a²-4c²=4b²．
所以r₁r₂=

2b2

1+cos2θ

．
這樣即有S=

1

2

•

2b2

1+cos2θ

sin2θ=b²

2sinθcosθ

2cos2θ

=b²

sinα

1-cosα

．
故答案為：b²

sinα

1-cosα

．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力，有些圓錐曲線問題用定義去解決比較方便．如本題，設(shè)|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，則S=

1

2

r₁r₂sin2θ．若能消去r₁r₂，問題即獲解決．