Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的右焦點(diǎn)為F（1，0），離心率為．分別過(guò)O，F(xiàn)的兩條弦AB，CD相交于點(diǎn)E（異于A，C兩點(diǎn)），且OE=EF．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線AC，BD的斜率之和為定值．

Answer 1

解：（1）由題意，得c=1，，
故，可得b²=a²-c²=1，
∴橢圓的方程為． ①…（5分）
（2）證明：設(shè)直線AB的方程為y=kx，②
直線CD的方程為y=-k（x-1），③…（7分）
由①②聯(lián)解，得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，
同理，聯(lián)解①③，得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，D的橫坐標(biāo)為…（9分）
記A（x₁，kx₁），B（x₂，kx₂），C（x₃，k（1-x₃）），D（x₄，k（1-x₄）），
因此，直線AC，BD的斜率之和為

=
=…（13分）
==0．
即直線AC，BD的斜率之和為0（定值） …（16分）
分析：（1）根據(jù)題意，建立關(guān)于a、c的方程組，解之可得且c=1，再用平方關(guān)系算出b²=1，即可得到橢圓的方程；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx，與橢圓方程聯(lián)解可得A的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，同理得到點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)關(guān)于k的式子，由此結(jié)合直線的斜率公式化簡(jiǎn)整理，即可算出直線AC，BD的斜率之和為0，從而證出所求證的命題是真命題．
點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓方程，求證分別經(jīng)過(guò)O、F的兩條直線AB、CD在滿(mǎn)足傾角互補(bǔ)的情況下，直線AC、BD斜率之和為定值．著重考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．