Question

在△ABC中，兩中線AD與BE相互垂直，則cos（A+B）的最大值為

-

4

5

．

Answer 1

分析：根據(jù)中線的性質(zhì)得出BD=CD=

a

2

，AE=EC=

b

2

，根據(jù)E，D為中點(diǎn)，故DE為中位線=

1

2

AB=

c

2

，進(jìn)而分別利用勾股定理求出各線段之間的關(guān)系，得出a，b及c的關(guān)系式，用a與b表示出c，然后由余弦定理表示出cosC，將表示出的c代入，并利用基本不等式求出cosC的最小值，進(jìn)而得到-cosC的最大值，利用誘導(dǎo)公式得到cos（A+B）=-cosC，進(jìn)而得到cos（A+B）的最大值．

解答：解：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，
∵AD⊥BE，
∴∠BOA=90°，
又D與E分別為BC及AC的中點(diǎn)，
∴BD=CD=

a

2

，AE=EC=

b

2

，
∵E，D為中點(diǎn)，∴DE為中位線，
∴DE=

1

2

AB=

c

2

，
∴①在Rt△BOD中，根據(jù)勾股定理得：BO²+DO²=（

a

2

）²，
②在Rt△AOE中，根據(jù)勾股定理得：AO²+EO²=（

b

2

）²，
③在Rt△EOD中，根據(jù)勾股定理得：DO²+EO²=（

c

2

）²，
④在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：BO²+AO²=c²，
由①+②=③+④，整理得：5c²=a²+b²，
∴c²=

1

5

（a²+b²），又a²+b²≥2ab，
∴根據(jù)余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

4

5

×

a2+b2

2ab

≥

4

5

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，
∴cos（A+B）=-cosC≤-

4

5

，
則cos（A+B）的最大值為-

4

5

．
故答案為：-

4

5

點(diǎn)評：此題考查了中線的定義，中位線定理，勾股定理，余弦定理，誘導(dǎo)公式，三角形的內(nèi)角和定理，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．