Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-（a-1）x²+b²x，其中a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，則函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)的概率是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)轉(zhuǎn)化為f'（x）≥0恒成立，即△≤0解得a，b的一個關(guān)系式，一一列舉出滿足條件的基本事件，根據(jù)概率公式計(jì)算即可．

解答： 解：f'（x）=x²-2（a-1）x+b²
若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，則對于任意x∈R，f'（x）≥0恒成立．
所以，△=4（a-1）²-4b²≤0，即（a+b-1）（a-b-1）≤0
因?yàn)閍+b-1≥1，
所以a-b-1≤0，
即a-b≤1，
則滿足的條件有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，3），（3，2），（4，3）9個基本事件，
總的基本事件有12種．
故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)的概率P=

9

12

=

3

4

．
故答案為：

3

4

．

點(diǎn)評：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解，是導(dǎo)數(shù)與古典概型相結(jié)合的題目，新穎，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．