Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=2，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，A₁D⊥平面ABC，A₁B⊥AC_l
（I）求證：AC₁⊥A_lC；
（Ⅱ）求三棱錐C_l-ABC的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）先由線(xiàn)線(xiàn)垂直證明線(xiàn)面垂直，再由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；
（II）先由線(xiàn)面垂直求棱錐的高，再根據(jù)三棱錐的體積公式計(jì)算即可
解答：解：（I）證明：∵A₁D⊥平面ABC，∴平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
又∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面AA₁C₁C，∴BC⊥AC₁，
∵A₁B⊥AC₁，∴AC₁⊥平面A₁BC，
∴AC₁⊥A₁C．
（II）∵AA₁C₁C是平行四邊形，由（I）知AC₁⊥A₁C，
∴四邊形AA₁C₁C是菱形，∴AA₁=AC=2，
∵A₁D⊥平面ABC，∴A₁D⊥AC，
∴點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴AD=1，A₁D=，
∴===．
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面垂直的性質(zhì)及棱錐體積的計(jì)算．