Question

如圖所示，一根繩穿過(guò)兩個(gè)定滑輪，且兩端分別掛有5N和3N的重物，現(xiàn)在兩個(gè)滑輪之間的繩上掛一個(gè)重量為m（N）的物體，恰好使得系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，求正數(shù)m的取值范圍．（滑輪大小可忽略不計(jì)）

Answer 1

分析：本題由向量加法的物理意義建立方程得到具有物理背景的量的方程，然后根據(jù)三角的相關(guān)公式整理出正數(shù)m關(guān)于角的函數(shù)，再進(jìn)行恒等變換求出參數(shù)的取值范圍．

解答：解：如圖建立坐標(biāo)系，記OB、OA與y軸的正半軸的夾角
分別為α，β，則由三角函數(shù)定義得

OB

=(3sinα， 3cosα)，

OA

=(5cos(90°+β)， 5sin(90°+β))=(-5sinβ，5cosβ)

OC

=(0， -m)
由于系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，∴

OC

+

OB

+

OA

=

0

∴

3sinα-5sinβ=0 (1) 3cosα+5cosβ=m  (2)

兩式平方相加得34+30cos（α+β）=m²
由（1）知sinβ=

3

5

sinα，而α，β∈[0，

π

2

]
∴β隨α單調(diào)遞增，且sinβ≤

3

5

=sinθ
∴0≤β≤θ
且β＜α≤

π

2

（寫(xiě)成β≤α≤

π

2

不扣分，這時(shí)α，β均為0）
從而0＜α+β≤

π

2

+θ，（這里α+β的范圍不是（0，π），這是易錯(cuò)點(diǎn)）
∴cos(

π

2

+θ)≤cos(α+β)＜1，即-

3

5

≤cos(α+β)＜1
∴16≤m²＜64∴正數(shù)m的取值范圍為4≤m＜8．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是平面微量的正交分解及坐標(biāo)表示，考查了有實(shí)際物理背景的向量之間的運(yùn)算，本題用向量的加法法則建立起相關(guān)的方程，然后求出參數(shù)，用向量方法求解物理問(wèn)題是向量的一個(gè)重要運(yùn)用，就好好總結(jié)物理量與向量的關(guān)聯(lián)方法．