Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，對任意，有.函數(shù)，數(shù)列的首項

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令求證：是等比數(shù)列并求通項公式

（Ⅲ）令，，求數(shù)列的前n項和.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）;（Ⅱ） ;（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由        ①

得        ②           1分

由②—①，得  

即：                  2分

由于數(shù)列各項均為正數(shù)，

                                  3分

即 數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，

數(shù)列的通項公式是            4分

（Ⅱ）由知，

所以，                        5分

有，即， 6分

而，

故是以為首項，公比為2的等比數(shù)列.                  7分

所以                                              8分

（Ⅲ），                 9分

所以數(shù)列的前n項和 

錯位相減可得                         12分

考點：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式， “錯位相減法”。

點評：中檔題，確定數(shù)列通項公式，往往利用已知條件，建立相關“元素”的方程組，達到解題目的。 本題利用前n項和與提醒的關系，確定數(shù)列的通項公式，也是較為常見的題型�！胺纸M求和法”“裂項相消法”“錯位相減法”是高考常�？疾榈臄�(shù)列求和方法。本題對運算能力要求較高。