Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意，點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上．

（I）求數(shù)列的首項(xiàng)和通項(xiàng)公式；

（II）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（III）已知數(shù)列滿足．若對(duì)任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（I）由點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上，可得，進(jìn)而得，兩式相減可得結(jié)論.；（II）由（I）知，所以，利用錯(cuò)位相減法可得結(jié)果；（III），利用分組求和及裂項(xiàng)相消法可得，進(jìn)而利用不等式恒成立解答即可.

試題解析：（I）由題知，當(dāng)時(shí)， ，所以．

，所以，兩式相減得到

，

因?yàn)檎��?xiàng)數(shù)列，所以，

數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以．

（II）由（I）知，所以，

因此①，

②，

由①-②得到

所以．

（III）由（II）知，所以

．令為的前項(xiàng)和，易得．

因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，

，而，得到

，所以當(dāng)時(shí)， ，所以．

又， 的最大值為．

因?yàn)閷?duì)任意的，存在，使得成立．

所以，由此．

【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查分組求和、裂項(xiàng)求和、“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和，以及不等式恒成立問(wèn)題，屬于難題. “錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積）；②相減時(shí)注意最后一項(xiàng) 的符號(hào)；③求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò)；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.