Question

已知曲線C上的動點(diǎn)P（x，y）滿足到點(diǎn)F（0，1）的距離比到直線l：y=-2的距離小1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）動點(diǎn)E在直線l上，過點(diǎn)E分別作曲線C的切線EA，EB，切點(diǎn)為A、B．
（ⅰ）求證：直線AB恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（ⅱ）在直線l上是否存在一點(diǎn)E，使得△ABM為等邊三角形（M點(diǎn)也在直線l上）？若存在，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)知曲線C的方程x²=4y．
（Ⅱ）（�。┰O(shè)E（a，-2），A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，由題設(shè)知x₁²-2ax₁-8=0．同理可得：x₂²-2ax₂-8=0所以x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-8，可得AB中點(diǎn)為(a，

a2+4

2

)，由此可知直線AB恒過一定點(diǎn)，并能求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
（ⅱ）由（�。┲狝B中點(diǎn)N(a，

a2+4

2

)，直線AB的方程為y=

a

2

x+2，當(dāng)a≠0時，AB的中垂線與直線y=-2的交點(diǎn)M(

a3+12a

4

，-2)．若△ABM為等邊三角形，則|MN|=

3

2

|AB|，∴

1

16

(a2+8)2(a2+4)=

3

4

(a2+4)(a2+8)，解得a=±2，此時E（±2，-2），故滿足條件的點(diǎn)E存在，坐標(biāo)為E（±2，-2）．

解答：解：（Ⅰ）曲線C的方程x²=4y（5分）
（Ⅱ）（�。┰O(shè)E（a，-2），A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，
∵y=

x2

4

∴y′=

1

2

x過點(diǎn)A的拋物線切線方程為y-

x 2 1

4

=

1

2

x1(x-x1)，
∵切線過E點(diǎn)，∴-2-

x 2 1

4

=

1

2

x1(a-x1)，整理得：x₁²-2ax₁-8=0
同理可得：x₂²-2ax₂-8=0，∴x₁，x₂是方程x²-2ax-8=0的兩根，∴x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-8可得AB中點(diǎn)為(a，

a2+4

2

)
又kAB=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 4 - x 2 2 4

x1-x2

=

x1+x2

4

=

a

2

，
∴直線AB的方程為y-(

a2

2

+2)=

a

2

(x-a)即y=

a

2

x+2，∴AB過定點(diǎn)（0，2）（10分）

（ⅱ）由（ⅰ）知AB中點(diǎn)N(a，

a2+4

2

)，直線AB的方程為y=

a

2

x+2
當(dāng)a≠0時，則AB的中垂線方程為y-

a2+4

2

=-

2

a

(x-a)，
∴AB的中垂線與直線y=-2的交點(diǎn)M(

a3+12a

4

，-2)∴|MN|2=(

a3+12a

4

-a)2+(-2-

a2+4

2

)2=

1

16

(a2+8)2(a2+4)
∵|AB|=

1+ a2 4

(x1+x2)2-4x1x2

=

(a2+4)(a2+8)

若△ABM為等邊三角形，則|MN|=

3

2

|AB|，
∴

1

16

(a2+8)2(a2+4)=

3

4

(a2+4)(a2+8)，
解得a²=4，∴a=±2，此時E（±2，-2），
當(dāng)a=0時，經(jīng)檢驗(yàn)不存在滿足條件的點(diǎn)E
綜上可得：滿足條件的點(diǎn)E存在，坐標(biāo)為E（±2，-2）．（15分）

點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合問題，解題時要注意公式的靈活運(yùn)用，注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．