Question

已知函數(shù)f（x）=-

1

3

x³+x²+（m²-1）x，其中m＞0．
（1）若m=2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）方程f（x）=0有三個不同的根0，x₁，x₂，若對任意的x∈[x₁，x₂]，有f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求得f′（x），令f′（x）=0，進一步可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）依題意可得f（x）=-

1

3

x（x-x₁）（x-x₂），從而方程-

1

3

x²+x+m²-1=0有兩個不同的根x₁，x₂，利用韋達定理可得x₂＞

3

2

＞1，m＞

1

2

；當1＜x₁＜x₂，可求得函數(shù)f（x）在x∈[x₁，x₂]的最小值為0，從而可得f（1）=m²-

1

3

＜0，于是可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f′（x）=-x²+2x+3=-（x-3）（x+1），…2
令f′（x）=0，解得x=3或x=-1．
f（x）在（-∞，-1）和（3，+∞）內(nèi)為減函數(shù)，在（-1，3）內(nèi)為增函數(shù)…5
（2）∵方程f（x）=x（-

1

3

x²+x+m²-1）=-

1

3

x（x-x₁）（x-x₂），
∴方程-

1

3

x²+x+m²-1=0有兩個不同的根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=3，且△=1+

4

3

（m²-1）＞0，解得m＜-

1

2

（舍去），m＞

1

2

…7
∵x₁＜x₂，
∴x₁+x₂＜2x₂，
∴x₂＞

3

2

＞1．
若x₁≤1＜x₂，即f（1）=-

1

3

（1-x₁）（1-x₂）≥0，而f（1）=0，不合題意…8
若1＜x₁＜x₂，則對任意的x∈[x₁，x₂]有x-x₁≥0，x-x₂≤0，
則f（x）=-

1

3

x（x-x₁）（x-x₂）≥0，又f（x₁）=0，
∴函數(shù)f（x）在x∈[x₁，x₂]的最小值為0，
于是對任意的x∈[x₁，x₂]，有f（x）＞f（1）恒成立的充要條件是f（1）=m²-

1

3

＜0，解得-

3

3

＜m＜

3

3

，
綜上，m的取值范圍是（

1

2

，

3

3

）…12

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查轉(zhuǎn)化與分類討論思想，考查綜合分析與解決問題的能力，屬于難題．