Question

已知不等式x²-2ax+2＞0在x∈（-1，2）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質,函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：構造函數f（x），將不等式轉化為求函數f（x）的最小值，利用二次函數對稱軸與區(qū)間之間的關系即可求出結論．

解答： 解：設f（x）=x²-2ax+2，
判別式△=4a²-4×2=4a²-8，對稱軸x=-

-2a

2

=a，
∵f（0）=2＞0，
∴若判別式△＜0，即-

2

＜a＜

2

．
若對稱軸x=a＞0，則滿足條件

a＞0 △≥0 f(2)＞0

，
即

a＞0 a≥ 2 或a≤- 2 a＜ 3 2

，
∴

2

≤a＜

3

2

．
若對稱軸x=a＜0，則滿足條件

a＜0 △≥0 f(-1)＞0

，
即

a＜0 a≥ 2 或a≤- 2 1+2a+2＞0

，
∴

a＜0 a≥ 2 或a≤- 2 a＞- 3 2

∴-

3

2

＜a≤-

2

，
綜上：-

3

2

＜a＜

3

2

，
即實數a的取值范圍是：-

3

2

＜a＜

3

2

．

點評：本題主要考查一元二次不等式恒成立問題，將不等式轉化為函數是解決本題的關鍵．注意要分類討論．