Question

本題（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每小題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分.作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中。
（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
已知向量=，變換T的矩陣為A=，平面上的點(diǎn)P（1，1）在變換T
作用下得到點(diǎn)P′（3，3），求A⁴.
（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
直線與圓（>0）相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)
P（－1，0），且|PA|:|PB|=1:2，求實(shí)數(shù)的值
（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
對(duì)于x∈R，不等式|x－1|+|x－2|≥²+²恒成立，試求2+的最大值。

Answer 1

（Ⅰ）.
（Ⅱ）=3.
（Ⅲ）(2+)_max=.

（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
本題主要考查矩陣、矩陣與變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力。
法1：=    即   =2，
故A= .             ------------------------------------ 2分
由λ₁=－1，λ₂="3."
當(dāng)λ₁=－1時(shí)，矩陣A的特征向量為=.
當(dāng)λ₂=3時(shí)，矩陣A的特征向量為=. -----------------------------4分
故A⁴=A⁴（+2）
=A⁴+2A⁴
=(－1)⁴+2·3⁴
=.          ------------------------------------7分
法2：由=,
即      ，
故A=.             ------------------------------------2分
A²=，
A³=，
A⁴ ， ------------------------------------5分
A⁴=. -----------------------------------7分
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
本題主要考查直線的參數(shù)方程，直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力.
法1：直線參數(shù)方程可化為：y=(x+1) --------------------------------1分
聯(lián)立方程  ，
消去，得：4+6+3－r="0" . ------------------------------------2分
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（不妨設(shè)x₁<x₂），則
Δ=36－16（3－）>0 ， …………①
x₁+x₂=，             …………②
x_1·x₂=，               …………③-----------------------------------3分
，   …………④-----------------------------------5分
由①②③④解得="3.         " -----------------------------------7分
法2：將直線參數(shù)方程代入圓方程得
t²－t+1－="0           " -----------------------------------1分
設(shè)方程兩根為t₁、t₂，則
Δ=1－4（1－）>0   >.
t₁+t₂=1，t₁·t₂=1－ .…………（*）-----------------------------------3分
由參數(shù)t的幾何意義知
 或.    ---------------------------5分
由，解得=3，
由，代入（*）得=3，
故所求實(shí)數(shù)r的值為3.         -----------------------------------7分
（3）選修4-5：不等式選講
本題主要考查柯西不等式、絕對(duì)值不等式及其應(yīng)用，考查推理論證與運(yùn)算求解能力
解：|－1|+|－2|=|－1|+|2－|≥|－1+2－|="1" , -------------2分
故²+²≤1.
(2+)²≤(2²+1²)( ²+²) ≤5. ---------------------------------4分
由      ,
即取=，時(shí)等號(hào)成立. --------------------------------6分
故(2+)_max=.          -----------------------------------7分