Question

已知橢圓m：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)與雙曲線n：

x2

4

-

y2

5

=1有兩個公共點，且橢圓m與雙曲線n的離心率之和為2．
（1）求橢圓m的方程；
（2）過橢圓m上的動點P作互相垂直的兩條直線l₁，l₂，l₁與圓O：x²+y²=a²+b²相交于點A，C，l₂與圓x∈[2，6]相交于點B，D，求四邊形ABCD的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題設條件得a=2，再由雙曲線n的離心率為

4+5

2

=

3

2

，知橢圓m的離心率

4-b2

2

=

1

2

，b2=3．由此能求出橢圓m的方程．
（2）圓O的方程為x²+y²=7．若

x2

4

+

y2

3

=1，則1=

x2

4

+

y2

3

≥

x2

4

+

y2

4

，x2+y2≤4＜7，橢圓m落在圓O內．設點P（x₀，y₀）到直線l₁，l₂的距離分別為d₁，d₂，則AC=2

7-d12

，BD=2

7-d22

．由此入手能夠求出四邊形ABCD的面積的最小值．

解答：解：（1）若a＞2，則橢圓m與雙曲線n有四個公共點；
若0＜a＜2，則橢圓m與雙曲線n沒有公共點；
若a=2，則橢圓m與雙曲線n有公共點（±2，0）．
由題意，可得a=2．…（3分）
又雙曲線n的離心率為

4+5

2

=

3

2

，
則橢圓m的離心率

4-b2

2

=

1

2

，b2=3．
所以橢圓m的方程為m：

x2

4

+

y2

3

=1．…（6分）
（2）圓O的方程為x²+y²=7．
若

x2

4

+

y2

3

=1，
則1=

x2

4

+

y2

3

≥

x2

4

+

y2

4

，x2+y2≤4＜7，
即橢圓m落在圓O內．
如圖，設點P（x₀，y₀）到直線l₁，l₂的距離分別為d₁，d₂，
則AC=2

7-d12

，BD=2

7-d22

，…（7分）
由l₁⊥l₂，得d₁²+d₂²=OP²=x₀²+y₀²．
四邊形ABCD的面積S=

1

2

AC×BD=2

49-7(d12+d22)+d12•d22

≥2

49-7(d12+d22)

…（9分）
由點P（x₀，y₀）在橢圓m上，
則

x02

4

+

y02

3

=1，-

3

≤y0≤

3

．
又49-7(d12+d22)=49-7(x02+y02)=21+

7

3

y02≥21，得S≥2

21

．…（11分）
當且僅當d₁d₂=0且y₀=0，
即P的坐標為（-2，0），
直線l₁，l₂的方程為y=0，
x=-2或P的坐標為（2，0），
直線l₁，l₂的方程為y=0，x=2時，S=2

21

．…（13分）
所以四邊形ABCD的面積的最小值為2

21

．…（14分）

點評：本題考查和橢圓的關系的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．