Question

在正四面體A-BCD中，棱長(zhǎng)為4，M是BC的中點(diǎn)，P在線段AM上運(yùn)動(dòng)（P不與A、M重合），過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥平面ABC，l與平面BCD交于點(diǎn)Q，給出下列命題：①BC⊥面AMD；②Q點(diǎn)一定在直線DM上 ③V_C-AMD=4．其中正確的是（ ）

A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

Answer 1

【答案】分析：①因?yàn)锳M⊥BC，DM⊥BC所以BC⊥平面ADM．故①正確
②因?yàn)镻Q⊥平面BCD，BC?平面BCD所以PQ⊥BC因?yàn)镻∈AM所以P∈平面AMD因?yàn)锽C⊥平面AMD所以Q∈平面AMD因?yàn)槠矫鍭MD∩平面BCD=MD所以Q∈MD故②正確．
③因?yàn)锽C⊥平面ADM∴把MC作為四面體C-MAD的高，△AMD為其底面，S△AMD=，VC-AMD=．故③錯(cuò)誤
解答：解：∵A-BCD為正四面體且M為BC的中點(diǎn)
∴AM⊥BC，DM⊥BC
又∵AM∩DM=M
∴BC⊥平面ADM
故①正確．
∵PQ⊥平面BCD，BC?平面BCD
∴PQ⊥BC
又∵P∈AM∴P∈平面AMD
又∵BC⊥平面AMD
∴Q∈平面AMD
又∵平面AMD∩平面BCD=MD
∴Q∈MD
故②正確．
由①得BC⊥平面ADM∴把MC作為四面體C-MAD的高，△AMD為其底面
在三角形△AMD中AM=MD=，AD=4
∴S△AMD=
∴VC-AMD==
故③錯(cuò)誤．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：證明線面垂直要找到直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直這是關(guān)鍵；證明點(diǎn)在直線上只要證明點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上即可；求四面體的體積關(guān)鍵是找到合適的底面與高即底面與高要簡(jiǎn)單易求．