Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x₁，x₂，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂），且f（x）≠0．
（Ⅰ）請(qǐng)寫出一個(gè)這樣的函數(shù)f（x）；
（Ⅱ）若f（x）滿足：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1，猜想函數(shù)f（x）的性質(zhì)，并加以證明；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求滿足f（x+4）＞的x的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），
∴滿足條件函數(shù)可以是指數(shù)函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1），如f（x）=2^x；
（Ⅱ）類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出f（x）的幾個(gè)性質(zhì)：
①函數(shù)f（x）的圖象過定點(diǎn)（0，1）；②f（x）值域是（0，+∞）；
③函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)．
證明：①由于f（x）=f（x+0）=f（x）f（0），而f（x）≠0，則f（0）=1；
②由于f（x）=f（+）=f（）f（）=≥0，而f（x）≠0，則f（x）＞0；
③任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
∵當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1，∴f（x₁-x₂）＞1，
又∵函數(shù)f（x）＞0，
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₂）f（x₁-x₂）＞f（x₂），
則f（x）為R上的減函數(shù)，
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，f（0）=1，
∵f（x+4）＞，且f（x）＞0，
∴f（x+4）f（x）＞1，即f（x+4+x）＞f（0），
∵f（x）為R上的減函數(shù)，
∴x+4+x＜0，解得x＜-2．
分析：（Ⅰ）先根據(jù)f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），可知此函數(shù)可以為指數(shù)函數(shù)f（x）=2^x；
（Ⅱ）根據(jù)條件和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)列出f（x）的幾個(gè)性質(zhì)，利用恒等式和單調(diào)性的定義進(jìn)行證明；
（Ⅲ）由（Ⅱ）和恒等式，將不等式化為：f（x+4+x）＞f（0），再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到具體的不等式，求出x的范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，以及賦值法求函數(shù)的值，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等，靈活利用所給的恒等式證明函數(shù)的單調(diào)性，此類題要求答題者有較高的數(shù)學(xué)思辨能力，能從所給的條件中組織出證明問題的組合來．