Question

不等式x²-2x+3≤a²-2a-1在R上的解集是A∩R⁺=∅，則實數(shù)a的取值范圍是

（-1，3）

．

Answer 1

分析：把不等式的右邊移項到左邊合并后，而不等式的解集為（-∞，0]的子集，分析對稱軸可得不等式的解集只能為空集，得到此二次函數(shù)與x軸沒有交點即根的判別式小于0，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍．

解答：解：由x²-2x+3≤a²-2a-1移項得：
x²-2x+3-a²+2a+1≤0，
因為在R上的解集是A∩R⁺=∅，則不等式的解集為（-∞，0]的子集，
令f（x）=x²-2x+3-a²+2a+1的對稱軸為x=1＞0
若f（x）=0有解則必有大于0的根，故不符合題意
所以f（x）=0無解，即△=4-4（-a²+2a+1）＜0
即a²-2a-3＜0，分解因式得：（a-3）（a+1）＜0，
解得：-1＜a＜3，
則實數(shù)a的取值范圍是：{a|-1＜a＜3}．
故答案為：（-1，3）

點評：本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，以及二次函數(shù)與x軸有無交點的判斷方法，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于基礎(chǔ)題．