Question

在平面直角坐標系xOy中，有一個以F1(0，-

3

)和F2(0，

3

)為焦點、離心率為

3

2

的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與x、y軸的交點分別為A、B，且向量

OM

=

OA

+

OB

．求：
（Ⅰ）點M的軌跡方程；
（Ⅱ）|

OM

|的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用相關點法求軌跡方程，設P（x₀，y₀），M（x，y），利用點M的坐標來表示點P的坐標，最后根據x₀，y₀滿足C的方程即可求得；
（2）先將|

OM

|用含點M的坐標的函數來表示，再利用基本不等式求此函數的最小值即可．

解答：解：（I）橢圓方程可寫為：

y2

a2

+

x2

b2

=1式中a＞b＞0，且

a2-b2=3 3 a = 3 2

得a²=4，b²=1，
所以曲線C的方程為：x²+

y2

4

=1（x＞0，y＞0）．y=2

1-x2

（0＜x＜1）y'=-

2x

1-x2

設P（x₀，y₀），因P在C上，有0＜x₀＜1，y₀=2

1- x 2 0

，y'|_x=x0=-

4x0

y0

，得切線AB的方程為：
y=-

4x0

y0

（x-x₀）+y₀．
設A（x，0）和B（0，y），由切線方程得x=

1

x0

，y=

4

y0

．
由

OM

=

OA

+

OB

得M的坐標為（x，y），由x₀，y₀滿足C的方程，得點M的軌跡方程為：

1

x2

+

4

y2

=1（x＞1，y＞2）
（Ⅱ）|

OM

|²=x²+y²，y²=

4

1- 1 x2

=4+

4

x2-1

，
∴|

OM

|²=x²-1+

4

x2-1

+5≥4+5=9．
且當x²-1=

4

x2-1

，即x=

3

＞1時，上式取等號．
故|

OM

|的最小值為3．

點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題，求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系．