Question

（本小題滿(mǎn)分14分）
在如圖所示的多面體中，⊥平面， ,，，
，，，是的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

（1） 解法1

證明：∵平面，平面，
∴，                                
又，平面，
∴平面.     …………2分
過(guò)作交于，則平面.
∵平面，
∴.            …………4分
∵，∴四邊形平行四邊形，
∴，
∴，又，
∴四邊形為正方形，
∴，                                        ……………6分
又平面，平面,
∴⊥平面.                            ………………………7分
∵平面,
∴.                             ………………………8分
（2）∵平面，平面
∴平面⊥平面
由（1）可知
∴⊥平面
∵平面
∴                              ……………………9分
取的中點(diǎn)，連結(jié)，
∵四邊形是正方形，
∴
∵平面，平面
∴⊥平面
∴⊥
∴是二面角的平面角，   ………………………12分
由計(jì)算得
∴            ………………………13分
∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.………………………14分
解法2
∵平面，平面，平面，
∴，，
又,
∴兩兩垂直.   ……………………2分
以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由已知得，（0，0，2），（2，0，0），
（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），
（2，2，0）.      …………………………4分
∴，，………6分
∴,    ………7分
∴.   …………………………8分
（2）由已知得是平面的法向量.       ………………………9分
設(shè)平面的法向量為，
∵，
∴，即，令,得. ……………12分
設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為，
則  …………………………13分
∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.  …………………………14分

略